Studienwochen

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Das Departement Mathematik bietet jedes Jahr Anfang Juni eine Studienwoche für interessierte Gymnasiastinnen und Gymnasiasten an. In drei Gruppen werden in dieser Zeit unter Anleitung von Dozentinnen und Dozenten spannende Themen der Mathematik vorgestellt und erarbeitet. Gleichzeitig ist dies eine Gelegenheit, ETH-Luft zu schnuppern, etwa im Hinblick auf eine späteres Studium.

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Aus der Welt der Mathematik
Studienwoche vom 6.-10. Juni 2017

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Der Kosmos der Kurven

Gateway Arch, St. Louis
Der 192 Meter hohe St. Louis Gateway Arch. (Bildquelle: planetware.com)

Kurven begegnen uns tagtäglich. Wie muss man im Strassenbau eine Kurve konzipieren, um das Unfallrisiko zu minimieren? Auf welchen Bahnen bewegen sich Himmelskörper? Warum irrte sich Galileo Galilei, als er meinte, eine frei hängende Kette habe die Form einer Parabel? Und warum fällt das Wahrzeichen von Saint Louis nicht um? Auf welcher Rutschbahn rutscht man am schnellsten? (Es ist nicht die Gerade!) Wie lang darf eine Leiter maximal sein, damit man mit ihr in einem engen Korridor noch um die Ecke kommt? Wie funktionieren die Flüsterbögen in alten Gewölben? Diese Studienwoche entführt Sie auf eine Entdeckungsreise in die Welt der Kurven.

From primes to secrets

Padlock

We will investigate systematically and with mathematical rigor some of the fascinating properties of the integers 1, 2, 3, 4, ... and specifically, of the prime numbers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... We will then discuss applications of the theory to cryptography, the study of how secret information (such as passwords or bank account details) can be communicated efficiently and securely.

Suppose Alice and Bob have never spoken privately before and now everyone can hear everything they say to each other. Can Bob nevertheless communicate a secret message to Alice? This seems to be impossible, but the surprising answer is yes! And prime numbers play a crucial role to make this miracle work.

The course starts completely from scratch and assumes no prerequisites.

Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung

Grafik mit zwei Trajektorien
Eine minimale Änderung der Anfangsbedingungen ergibt auf lange Zeit zwei verschiedene Trajektorien, was z.B. die Güte einer Wettervorhersage ausmacht.

Leben bedeutet Veränderung. Ob es um die Position eines Fussballs, um die Anzahl Bakterien oder um den Wert des Blutdrucks geht, Veränderung macht das Leben interessant.
Die entsprechenden mathematischen Modelle sind Differentialgleichungen, die meistens nur numerisch, also mit dem Computer lösbar sind. Das heisst, es gibt keine geschlossene mathematische Formel für deren Lösung.

Wir lernen gewöhnliche Differentialgleichungen kennen, und wir bestimmen ihre Lösungen numerisch. Nebenbei machen wir uns spielend mit der Programmiersprache Python bekannt, die heutzutage eine wichtige Rolle spielt, z.B. bei der Entwicklung von Computerspielen, bei Google- und YouTube-Anwendungen oder bei wissenschaftlichen Simulationen und der Steuerung komplexer Luft- und Raumfahrt-Systeme.

Themen aus vergangenen Studienwochen

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Grosse zufällige Netzwerke

Im Leben findet man viele Beispiele von grossen Netzwerken, in der Natur sowie im technischen Bereich. Beispiele sind das Internet, der globale Handel, Netzwerke von Pilzen im Waldboden oder die Zellen in unserem Gehirn. Graphentheorie ist die mathematische Sprache um diese Netzwerke zu beschreiben, und mit Wahrscheinlichkeitstheorie kann man Modelle von zufälligen Netzwerken bauen, die in der realen Welt statistischen Beobachtungen entsprechen. Im Laufe der Woche werden wir auf verschiedene Modelle von zufälligen Graphen eingehen und ihre Eigenschaften diskutieren. Zudem schauen wir uns an, inwiefern sie für die Modellierung konkreter Netzwerke aus der Natur und Technik relevant sind.

In diesem Zusammenhang wird es auch eine Einführung in die Graphentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, statistische Modellierung und Computersimulation geben.

From integers to Diophantine equations

The INTEGERS - namely, the numbers 1,2,3,4,..., along with 0 and their negatives - are the first mathematical objects that we have ever encountered. We will be investigating some of the fascinating properties of these innocent-looking numbers.

An equation in two or more variables that is to be solved for INTEGER values of the unknowns is called "Diophantine". For example, can you write down some or even all triples of integers that are sides of a right triangle? One solution of infinitely many is 32 + 42 = 52. As we go along, the theory will be illustrated with various Diophantine equations. You will gain experience in writing formal rigorous mathematical proofs. The picture above shows a French stamp from 2001: Fermat's Last Theorem is the most famous Diophantine equation in the history of mathematics: There are no positive integers a, b, c and n > 2 such that an +bn =cn.

 
 
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25.05.2017
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