Taylor- und Laurententwicklungen

Dieses Applet zeigt die Taylor- und Laurententwicklung der Funktion $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}$ an einem Entwicklungspunkt $z_0$ in der komplexen Ebene.

Klicken Sie mit der Maus auf das Koordinatensystem, um einen neuen Entwicklungspunkt $z_0$ zu bestimmen. Dort besitzt die Funktion

• eine Taylorentwicklung um $z_0$, welche in der roten Kreisscheibe konvergiert;
• eine Laurententwicklung um $z_0$, welche im orangen Kreisring konvergiert;
• und eine weitere Laurententwicklung um $z_0$, welche in dem gelben Äusseren konvergiert.

Um alle berechneten Koeffizienten der Entwicklungen zu sehen, müssen Sie unter Umständen den Cursor mit den Pfeiltasten im entsprechenden Textfenster bewegen.

Aufgaben und Fragen

1. Im Bereich der weissen Kreislinien konvergiert
   keine der drei Reihen.
   jede der drei Reihen.
   nur die Taylor-Reihe.
2. Für jeden Entwicklungspunkt liegen die Pole immer
   im orangen Bereich.
   im roten Bereich.
   auf genau einer Kreislinie.
   auf den Kreislinien.
3. Was geschieht mit den Koeffizienten der Taylorreihe, wenn sich der Entwicklungspunkt $z_0$ in die Nähe einer Singularität bewegt.
   Sie werden grösser.
   Sie werden kleiner.
   Sie bleiben unverändert.
4. In welchen Punkten verschwindet der Kreisring, in welchem die Laurentreihe konvergiert (orange)?
   in gar keinem.
   in jedem ausserhalb Null.
   in allen Punkt mit gleichem Abstand zu den Polen.
   genau im Mittelpunkt der Strecke zwischen den Polen.
5. In welchen Punkten verschwindet der Kreis, in welchem die Taylorreihe konvergiert (rot)?
   in gar keinem.
   in den beiden Polen.
   in allen Punkt mit gleichem Abstand zu einem der Pole.
   genau im Mittelpunkt der Strecke zwischen den Polen.
6. Ordnen Sie jeder Laurententwicklung von $f$ das entsprechende Konvergenzgebiet zu.

   $\sum_{n=0}^\infty (1-2^{-n-1})z^n$

   $0 < |z| < 1$. $1 < |z| < 2$. $2 < |z| < \infty$.

   $-\sum_{n=2}^\infty (2^{n-1}-1) z^{-n}$

   $0 < |z| < 1$. $1 < |z| < 2$. $2 < |z| < \infty$.

   $- \sum_{n=1}^{\infty} z^{-n} - \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^{n+1}}$

   $0 < |z| < 1$. $1 < |z| < 2$. $2 < |z| < \infty$.