Der Residuensatz

Im Applet wird eine Funktion durch die Angabe der Pole und Residuen in der linken Ebene beschrieben.

In der linken Ebene sehen Sie ein Vektorfeld. An jedem Gitterpunkt $z$ ist der Vektor $f(z)$ (ohne Pfeilspitze) eingezeichnet. In der rechten Ebene sehen Sie den jeweiligen Wert des Integrals durch $2\pi$ normiert.

Aufgrund der numerischen Berechnung wird das Integral mit einer Ungenauigkeit von $\pm 5 %$ bestimmt; vor allem dann, wenn Sie sich zu nah an einem Pol bewegen.

Aufgaben und Fragen

In den Aufgaben 1 bis 3 sollen Sie mit den voreingestellten Polen und Residuen im Applet arbeiten.

1. Versuchen Sie zu verstehen, warum das Vektorfeld entsprechend aussieht, wenn Sie einen Pol, zwei Pole, drei Pole oder vier Pole einstellen.
2. Welche der Funktionen sind Beispielfunktionen zu einer Kombination der Pole 1 bis 4 mit entsprechenden Residuen?

   $f(z) = \frac{3z-4}{z^2-4z}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = 4 \frac{z-1}{z^2-4z}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = 4 \frac{z+(i+1)}{4(1+i)z -z^2}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = \frac{4(1+i)}{4(1+i)z-z^2}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = 4 \frac{z^2-(2+3i)z-4i}{z^3-4(1+i)z^2 + 16iz}$

   Ja. Nein.

3. Aktivieren Sie Pol 1 und Pol 2. Finden Sie einen Weg, dessen Umlaufzahlen um Pol 1 und 2 nicht $0$ sind, aber so dass das Integral $0$ ist.
   • Ist dies für jedes der $6$ Paare von Polen möglich?
   • Geht dasselbe, wenn Sie eines der Residuen rein imaginär machen? Für welche geschlossenen Wege ist dann das Integral gleich $0$?
4. Wenn Sie im Uhrzeigersinn um einen Pol $a$ laufen,
   vergrössert sich der Wert des Integrals um $2\pi i \cdot \mbox{Res}(f,a)$.
   verkleinert sich der Wert des Integrals um $2\pi i \cdot \mbox{Res}(f,a)$.
   vergrössert sich der Wert des Integrals um $2\pi i$.
   verkleinert sich der Wert des Integrals um $2\pi i$.
   passiert gar nichts.
5. Beantworten Sie die Fragen und geben Sie allenfalls Beispiele an.

   Gibt es für Funktionen mit einem Pol Wege mit Umlaufzahlen Null, die nicht homotop zu einem konstanten Weg sind?

   Ja. Nein.

   
   

   Gibt es für Funktionen mit zwei Polen Wege mit Umlaufzahlen Null, die nicht homotop zu einem konstanten Weg sind?

   Ja. Nein.

6. Experimentieren Sie mit anderer Lage der Pole und anderen Residuen.