Mehrwertige komplexe Funktionen

Mit diesem Applet studieren wir komplexe Funktionen, welche einer komplexen Zahl $z$ mehrere Werte zuordnen. Das heisst, wenn Sie in der linken Ebene eine Kurve zeichnen, so werden Sie in der Bildebene (rechts) mehrere Kurven sehen.

Einer der Zweige wird als Hauptzweig bezeichnet und ist im Applet rot gezeichnet. Sie können entscheiden, ob das Applet alle Zweige oder nur den Hauptzweig anzeigt.

Aufgaben und Fragen

1. Für welcher Funktionen im Applet sind alle Zweige unstetig entlang der reellen negativen Achse. Wie äussert sich das im Applet? [Antwort] Ausser im Fall der Funktion $f(z)=\pm z$ sind alle Zweige unstetig entlang der negativen reellen Achse: wenn Sie mit der Maus über diese Achse wandern, so springt der Hauptzweig von einem Wert der Funktion zu einem anderen.
2. Wählen Sie die Funktion $f(z) = \sqrt{z}$ und lassen Sie nur den Hauptzweig anzeigen. Das Bild eines Kreises um den Nullpunkt
   ... liegt in der rechten Halbebene.
   ... liegt in der oberen Halbebene.
   ... liegt in der linken Halbebene.
   ... liegt in der unteren Halbebene.
3. Die Funktion $f(z) = \log(z)$ besitzt unendlich viele Zweige, im Applet werden nur drei davon gezeichnet. Das Bild des Kreises mit Radius $\frac{\pi}{2}$ um den Nullpunkt
   ... ist ein Kreis mit Radius $\frac{\pi}{2}$.
   ... ist ein Kreis mit Radius $2\pi$.
   ... ist keiner der obigen Kreise.
   Die Werte des Hauptzweigs der Logarithmusfunktion liegen nicht auf der ganzen komplexen Ebene. Sie liegen alle im Streifen
   ... $[0,2\pi] \times i \mathbb{R}$.
   ... $[-\pi,\pi] \times i \mathbb{R}$.
   ... $\mathbb{R} \times [0,2\pi i]$.
   ... $\mathbb{R} \times [-\pi i,\pi i]$.