Möbiustransformationen

Mit diesem Applet studieren wir das Bild von Möbiustransformationen. Eine Möbiustransformation ist eine komplexe Funktion von der Form $f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{C}$. Dabei wird der Fall $ad-bc = 0$ ausgeschlossen.

Welche der folgenden Funktionen beschreiben eine Möbiustransformation?

$f(z) = \frac{3z+6}{z+2}$ $f(z) = \frac{z+1}{z}$ $f(z) = \frac{1}{z+2}$
$f(z) = 3z$ $f(z) = \frac{z + i}{iz-1}$ $f(z) = \frac{z + i}{z-i}$

Im Applet sehen Sie links den Definitionsbereich der Transformation. Hier können Sie Punkte, Geraden und Kreise zeichnen. In der rechten Ebene sehen Sie deren Bilder unter der gegebenen Möbiustransformation.

[Anleitung zum Zeichnen von geometrischen Objekten]

• Mit der Maus können Sie auf zwei Weisen im linken Koordinatensystem Punkte, Geraden und Kreise erzeugen.
  • Stellen Sie zum Beispiel "Punkte" im Menü ein, und klicken Sie auf die linke Ebene.
  • Klicken Sie zum Beispiel auf "Gerade", und geben Sie die Geradengleichung ein.
• Mit "Zurück" löschen Sie das zuletzt gezeichnete Objekt, mit "Löschen" alle Objekte.

Die Möbiustransformation können Sie als Funktionsgleichung $w = \frac{az + b}{cz + d}$ eingeben. Sie können die Gleichung auch mit den gegebenen Buttons verändern: Bild verschieben oder strecken, Gleichung invertieren, vereinfachen, $z$ und $w$ vertauschen und Sie können direkt die Identität oder die Inversionsabbildung eingeben.

[Anleitung zur Eingabe und Veränderung der Funktionsgleichung]

• Zu Beginn ist als Möbiustransformation unten im Applet die Identität $f(z) = z$ eingestellt. Diese können Sie nun mit den übrigen Knöpfen manipulieren und eine neue Gleichung generieren. Beobachten Sie dabei, wie die Gleichung und die Anschauung zusammenhängen.
• Mit "Vereinfachen/Kürzen" wird die Gleichung der Funktionen vereinfacht.
• Mit "Vertausche Ebenen" werden die beiden Ebenen vertauscht.
• Mit "Eingabe" können Sie direkt eine Gleichung für die Transformation eingeben. Eingaben, die $ad-bc=0$ erfüllen, werden ignoriert.

Das blaue Kreuz im linken Koordinatensystem zeigt die Singularität der Möbiustransformation an. Das Kreuz in der Bildebene zeigt die Singularität der inversen Möbiustransformation.

Aufgaben und Fragen

1. Das Bild der Einheitskreisscheibe unter $f(z)= \frac{z-1}{z+1}$ ist
   die rechte Halbebene.
   die linke Halbebene.
   ein Punkt.
   die reelle Achse.
   die imaginäre Achse.
   ganz $\mathbb{C}$.
2. Das Bild der Kreisscheibe $\{z: |z-1| < 2\}$ unter der Inversion $f(z) = \frac{1}{z}$ ist
   die linke Halbebene.
   die rechte Halbebene.
   $\{w : |w + \frac{1}{3}| < \frac{2}{3} \}$.
   $\{w : |w + \frac{1}{3}| > \frac{2}{3} \}$.
   keines der obigen Gebiete.
Welche der folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein, dass ein Punkt $z \in \mathbb{C}$ unter einer Möbiustransformation $z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ in der oberen Halbebene liegt?
$a,b,c,d \in \mathbb{R}$
$ad-bc > 0$.
$Im(z) > 0$.
$z \neq \frac{d}{c}$.

3. Das Doppelverhältnis von vier komplexen Zahlen $a,b,c,d$ ist definiert durch $DV(a,b,c,d) = \frac{a-b}{a-d} : \frac{c-b}{c-d}$. Ziel dieser Aufgabe ist es, experimentell eine Beziehung zwischen dem Doppelverhältnis von vier komplexen Zahlen und ihrer Lage in der Ebene herzuleiten.
   • Finden Sie eine Möbiustransformation $M$, die einen Kreis auf die reelle Achse abbbildet.
   [Eine mögliche Transformation] Die Transformation $M(z) = i \frac{z+1}{z-1}$ bildet den Einheitskreis auf die reelle Achse ab.
   • Wo liegen die Urbilder $z_0, z_1, z_\infty$ von $0, 1$ und $\infty$?
   • Bemerken Sie, dass gilt $M(z) = DV(z,z_0,z_1,z_{\infty})$.
   • Zeichnen Sie Punkte verschiedenfarbige Punkte innerhalb, ausserhalb und auf dem Kreis. Finden Sie einen Zusammenhang zwischen dem Imaginärteil von $M(z)$ und der Lage von $z$?
   • Beweisen Sie Ihre Hypothese!