Komplexe Funktionen

Dieses Applet veranschaulicht das Bild einiger komplexer Funktionen $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$.

Zu Beginn ist die Identitätsabbildung eingestellt, gegeben durch $f(z) = z$. Mit der Maus können Sie aus der Liste eine andere Funktion $f$ wählen.

In der linken Ebene können Sie einen Weg einzeichnen und sehen dann sein Bild unter der gewählten Funktion $f$ in der rechten Ebene.

Aufgaben und Fragen

1. Ist das Bild eines Qudrates unter der gegebenen Funktion wieder ein Quadrat?

   $f(z) = -2z$

   Ja. Nein.

   $f(z) = 3iz$

   Ja. Nein.

   $f(z) = z^2$

   Ja. Nein.

   $f(z) = \frac{1}{z}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = \bar{z}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = z+i$

   Ja. Nein.

   $f(z) = z+1$

   Ja. Nein.

2. Welche der folgenden Funktionen bilden rechte Winkel auf rechte Winkel ab?

   $f(z) = \exp(z)$

   Ja. Nein.

   $f(z) = \frac{1}{z}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = Im(z)$

   Ja. Nein.

   $f(z) = \frac{9}{\bar{z}}$

   Ja. Nein.

   $f(z) = x + 2iy$

   Ja. Nein.

3. Sei $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z) =z^2$. Wie oft umläuft das Bild eines Weges, der den Nullpunkt einmal umläuft, den Nullpunkt?
   kein Mal. ein Mal. zwei Mal. vier Mal.
   Der Grund dafür ist, dass
   der Winkel verdoppelt wird.
   der Winkel quadriert wird.
   der Radius verdoppelt wird.
   der Radius quadriert wird.
4. Sei $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z) = \frac{1}{z}$. Das Bild einer Geraden $g$ unter $f$ ist immer ein Kreis.
   Richtig. Falsch.

   [Erklärung] Das Bild von $g$ unter $f$ genau dann ein Kreis, wenn $g$ nicht durch den Nullpunkt geht.

   Ist es richtig, dass ein Kreis unter $f$ wieder auf einen Kreis abgebildet wird?
   Ja, immer.
   Das ist vom Mittelpunkt abhängig.
   Das ist vom Radius abhängig.
   Das ist vom Mittelpunkt und dem Radius abhängig.
   Nein, nie.
5. Sei $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z) = \frac{9}{\bar z}$. Diese Abbildung beschreibt
   eine Spiegelung am Kreis $\{z : |z| = 3\}$.
   eine Spiegelung am Kreis $\{z : |z| = 9\}$.
   eine Spiegelung an der imaginären Achse.
   keine der drei Spiegelungen.
   
6. Sei $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z) = \exp(z)$. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
   Es gibt $z \in \mathbb{C}$, so dass $\exp(z)$ eine reelle negative Zahl ist.
   Für ein festes $z_0$ gilt, dass $\lim_{t \to + \infty} |f(z_0 + it)| = +\infty$.
   Für ein festes $z_0$ gilt, dass $\lim_{t \to + \infty} |f(z_0 + t)| = +\infty$.
   $f$ ist bijektiv.