Komplexe Integration

Mit dem Applet untersuchen wir das Integral einiger komplexer Funktionen.

Wenn Sie in der linken Ebene einen Weg zeichnen, so integriert das Applet die Funktion $f$ entlang dieses Weges, und zeichnet in der rechten Ebene den jeweiligen Wert des Integrals.

Integrieren Sie in einem ersten Beispiel die Funktion mit $f(z) = z$ entlang eines Weges von $1$ nach $2i$. Welchen Wert hat das Integral? [Antwort] Der Wert des Integrals beträgt $-2.5$.

Untersuchen Sie was geschieht, wenn Sie die unterschiedlichen Funktionen entlang eines geschlossenen Weges integrieren. In welchen Fällen ist das Integral $0$ und in welchen nicht?

Aufgaben und Fragen

1. Betrachten Sie die Funktion $f(z) = 1$. Was erhalten Sie, wenn Sie diese Funktion entlang eines Weges von $a$ nach $b$ integrieren?
   $0$.
   $1$.
   $b-a$.
   Das hängt vom Weg ab.
2. Betrachten Sie die Funktion $f(z) = 1+i$. Für welche Wege $\gamma$ liegt der Wert des Integrals $\int_\gamma f(z) dz$ genau auf der Geraden $g$ definiert durch $g(z) = (1+i)z$?
   Für jeden Weg.
   Für Wege parellel zur reellen Achse.
   Für Wege parellel zur imaginären Achse.
   Für keinen Weg.
3. Wählen Sie die Funktion $f(z) = z$. Der Wert des Integrals ist im allgemeinen abhängig von $z$.
   • Veranschaulichen Sie sich dies folgendermassen im Applet: Zeichnen Sie Wegstücke gleicher Länge die unterschiedlich weit von $0$ entfernt sind und beobachten Sie den Unterschied für den Wert des Integrals.
   • Was geschieht bei geschlossenen Wegen?
4. Hat die Funktion $f(z) = \bar z$ eine Stammfunktion? Wie kann man dies mit dem Applet erklären? [Antwort] Es ist nicht möglich, einen einfachen geschlossenen Weg $\gamma$ zu zeichnen, so dass das Integral von $f$ entlang von $\gamma$ den Wert $0$ hat.
5. Sei $f(z) =\frac{1}{z}$. Welche Werte hat das Integral von $f$ entlang der Wege $\gamma_1, \gamma_2$, und $\gamma_3$.

   $\gamma_1 : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, \: \gamma_1(t) = 3 e^{ti}$

   $0$. $2 \pi i$. $-2 \pi i$.

   $\gamma_2 : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, \: \gamma_2(t) = 5 + 4e^{ti}$

   $0$. $2 \pi i$. $-2 \pi i$.

   $\gamma_3 : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, \: \gamma_3(t) = e^{(2 \pi- t)i}$

   $0$. $2 \pi i$. $-2 \pi i$.

   Hat $f$ eine Stammfunktion auf der punktierten Ebene $\mathbb{C} \setminus \{0\}$?
   Ja. Nein.
   Hat sie eine auf der geschlitzten Ebene $\mathbb C \setminus \{ z : Re(z) \leq 0 \}$?
   Ja. Nein.
6. Für welche Funktionen können Sie einen geschlossenen Weg (ohne Loslassen der Maustaste) so fortführen, dass das Gesamtintegral $0$ beträgt?
   Für komplex differenzierbare Funktionen.
   Für keine Funktion.
   Für alle Funktionen.