Komplexe Funktionen und deren Ableitung

Mit diesem Applet untersuchen wir die Ableitung von komplexen Funktionen anhand einiger Beispiele.

Sie sehen in der linken Ebene ein Gitter, welches Sie mit der Maus bewegen können. In der rechten Ebene sehen Sie das Bild dieses Gitters unter der ausgewählten Funktion $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$.

Ausserdem sehen Sie die partiellen Ableitungen $\frac{df}{dx}$ (in grün) and $\frac{df}{dy}$ (in gelb) und deren Bild an einem beliebigen Punkt, jeweils als Vektor an $f(z)$.

Aufgaben und Fragen

1. In welche Richtung bewegt sich das Bild eines Gitters, welches Sie nach rechts parallel zur reellen Achse bewegen?
   Das hängt von der Funktion $f$ ab.
   In Richtung $\frac{df}{dx}$.
   Parallel zur reellen Achse.
   Das hängt von der Lage des Gitters ab.
   Was geschieht mit dem Bild eines Gitters, welches Sie nach oben parallel zur imaginären Achse bewegen? [Antwort] Das Bild des Gitters bewegt sich in Richtung $\frac{df}{dy}$.
2. Die Vektoren der partiellen Ableitungen $\frac{df}{dx}$ und $\frac{df}{dy}$ liegen im Bildbereich

   ... immer orthogonal zueinander.

   Richtig. Falsch.

   ... immer tangential zum Bild des Gitters.

   Richtig. Falsch.

3. Durch welche Operation können wir im Fall einer komplex differenzierbaren Funktion den Vektor $\frac{df}{dx}$ in denjenigen von $\frac{df}{dy}$ überführen?
   Durch eine Drehung um 90 Grad im Uhrzeigersinn.
   Durch eine Drehung um 90 Grad entgegen dem Uhrzeigersinn.
   Durch eine Streckung.
   Das ist im allgemeinen nicht möglich.
4. Welche der folgenden Differentialgleichungen erfüllt jede komplex differenzierbare Funktion?
   $\frac{df}{dx} = -\frac{df}{dy}$.
   $\frac{df}{dx} = \frac{1}{i} \frac{df}{dy}$.
   $\frac{df}{dx} = \frac{df}{dy}$.
   $\frac{df}{dx} = i \frac{df}{dy}$.
5. Die Funktion $f(z) = (1+i)z - i$ ist in allen Punkten differenzierbar. Warum sehen wir das sofort? [Antwort] Sie ist linear. Bemerken Sie auch, dass die Ableitungsvektoren genau in das Bild des Gitters passen.
6. Die Funktion $f(z) = \frac{z^2}{4}$ ist in allen Punkten differenzierbar, ihre Ableitung ist nicht konstant. Machen sie sich mit dem Applet klar, dass $\frac{df}{dz}=\frac{z}{2}$.
7. Die Funktion $f(z) = \bar{z}$ ist nirgends differenzierbar. Wie sieht man das anschaulich im Applet? [Antwort] Der Vektor $\frac{df}{dx}$ lässt sich nirgends mit einer 90 Grad Drehung im Gegenuhrzeigersinn in den Vektor $\frac{df}{dx}$ überführen.
8. An welchen Punkten ist die Funktion $f(z) = x + y + iy$ differenzierbar?
   Auf ganz $\mathbb{C}$.
   Nirgends.
   Auf der rellen Achse.
   Auf der imaginären Achse.
   An welchen Punkten ist die Funktion $f(z) = x + y^2 + iy$ differenzierbar?
   Auf ganz $\mathbb{C}$.
   Nirgends.
   Auf der rellen Achse.
   Auf der imaginären Achse.