Mit dem Applet untersuchen wir das Integral einiger komplexer Funktionen.
Wenn Sie in der linken Ebene links in das Koordinatensystem
einen Weg zeichnen, so integriert das Applet die Funktion $f$ entlang dieses
Weges, und zeichnet in der rechten Ebene den jeweiligen Wert des
Integrals.
Integrieren Sie in einem ersten Beispiel die Funktion mit $f(z) = z$
wähl entlang eines Weges von $1$ nach $2i$
bewegen. Welchen Wert hat das Integral?
[Antwort][...]
Beachten Sie, dass die rote Kurve rechts, deren Endpunkt den Wert des Integrals
angibt, immer bei $0$ beginnt.
Mathematischer Grund? Warum muss das beachtet werden?
Untersuchen Sie die einzelnen Phänomene, welche auftreten
was geschieht, wenn Sie die unterschiedlichen Funktionen entlang eines
geschlossenen Weges integrieren. In welchen Fällen ist das Integral $0$
und in welchen nicht? Beispielsweise ist in einigen Fällen das
Integral $0$, in einigen nicht.
Aufgaben und Fragen
Betrachten Sie die Funktion $f(z) = 1$. Was erhalten Sie, wenn Sie
diese Funktion entlang eines Weges von $a$ nach $b$ integrieren?
Betrachten Sie die Funktion $f(z) = 1+i$. Für welche Wege $\gamma$
liegt der Wert des Integrals $\int_\gamma f(z) dz$ genau auf der Geraden
$g$ definiert durch $g(z) = (1+i)z$?
Wählen Sie die Funktion $f(z) = z$. Der Wert des Integrals ist im
allgemeinen abhängig von $z$. Veranschaulichen Sie sich dies
folgendermassen im Applet:
Zeichnen Sie Wegstücke gleicher Länge die unterschiedlich
weit von $0$ entfernt sind Zeichnen Sie kurze Wegstücke
für einen Startpunkt mit einem kleinen und mit einem grossen
Wert, und beobachten Sie den Unterschied für den Wert des
Integrals.
Was geschieht bei geschlossenen Wegen?
Wir betrachten die Funktion $f(z) = \bar z$.
Hat diese Funktion eine Stammfunktion? Wie kann man dies mit dem Applet erklären?
Können Sie einen geschlossenen Weg (ohne Loslassen der Maustaste) so fortführen, so dass das Gesamtintegral wieder $0$ beträgt in Null landet?
Sei $f(z) =\frac{1}{z}$. Bestimmen Sie $\int_\gamma f(z) dz$ für die angegebenen Wege.
Hat $f$ eine Stammfunktion auf der punktierten Ebene $\mathbb{C} \setminus \{0\}$?
Hat sie eine auf der "geschlitzten" Ebene, dass heisst $\mathbb C$ ohne den Nullpunkt und die negative reelle Achse?