Komplexe Integration

Mit dem Applet untersuchen wir das Integral einiger komplexer Funktionen.

Wenn Sie in der linken Ebene links in das Koordinatensystem einen Weg zeichnen, so integriert das Applet die Funktion $f$ entlang dieses Weges, und zeichnet in der rechten Ebene den jeweiligen Wert des Integrals.

Integrieren Sie in einem ersten Beispiel die Funktion mit $f(z) = z$ wähl entlang eines Weges von $1$ nach $2i$ bewegen. Welchen Wert hat das Integral? [Antwort] [...]

Beachten Sie, dass die rote Kurve rechts, deren Endpunkt den Wert des Integrals angibt, immer bei $0$ beginnt. Mathematischer Grund? Warum muss das beachtet werden?

Untersuchen Sie die einzelnen Phänomene, welche auftreten was geschieht, wenn Sie die unterschiedlichen Funktionen entlang eines geschlossenen Weges integrieren. In welchen Fällen ist das Integral $0$ und in welchen nicht? Beispielsweise ist in einigen Fällen das Integral $0$, in einigen nicht.

Aufgaben und Fragen

  1. Betrachten Sie die Funktion $f(z) = 1$. Was erhalten Sie, wenn Sie diese Funktion entlang eines Weges von $a$ nach $b$ integrieren?
    $0$.
    $1$.
    $b-a$.
    Das hängt vom Weg ab.
  2. Betrachten Sie die Funktion $f(z) = 1+i$. Für welche Wege $\gamma$ liegt der Wert des Integrals $\int_\gamma f(z) dz$ genau auf der Geraden $g$ definiert durch $g(z) = (1+i)z$?
    Für jeden Weg.
    Für Wege parellel zur reellen Achse.
    Für Wege parellel zur imaginären Achse.
    Für keinen Weg.
  3. Wählen Sie die Funktion $f(z) = z$. Der Wert des Integrals ist im allgemeinen abhängig von $z$. Veranschaulichen Sie sich dies folgendermassen im Applet:
    • Zeichnen Sie Wegstücke gleicher Länge die unterschiedlich weit von $0$ entfernt sind Zeichnen Sie kurze Wegstücke für einen Startpunkt mit einem kleinen und mit einem grossen Wert, und beobachten Sie den Unterschied für den Wert des Integrals.
    • Was geschieht bei geschlossenen Wegen?
  4. Wir betrachten die Funktion $f(z) = \bar z$.
    • Hat diese Funktion eine Stammfunktion? Wie kann man dies mit dem Applet erklären?
    • Können Sie einen geschlossenen Weg (ohne Loslassen der Maustaste) so fortführen, so dass das Gesamtintegral wieder $0$ beträgt in Null landet?
  5. Sei $f(z) =\frac{1}{z}$. Bestimmen Sie $\int_\gamma f(z) dz$ für die angegebenen Wege.
    $\gamma_1$ $0$. $2 \pi i$. $-2 \pi i$.
    $\gamma_3$ $0$. $2 \pi i$. $-2 \pi i$.
    $\gamma_2$ $0$. $2 \pi i$. $-2 \pi i$.
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