Probabilités/ Probability Theory Inégalités de normes avec poids et fermeture

Inégalités de normes avec poids et fermeture d’un espace d’intégrales stochastiques

F. Delbaen, P. Monat, W. Schachermayer, M. Schweizer et C. Stricker

Résumé : Soit X une semimartingale et Θ l’espace de tous les processus prévisibles X-intégrables θ tels que ∫ θ^{∗}dX appartient à l’espace S^{2} des semimartingales. On cherche à déterminer des conditions nécessaires et suffisantes pour que l’espace

G_{T} (Θ) défini par G_{T} (Θ) := {∫_{0}^{T} θ_{s}^{∗}dX_{s} | θ ∈ Θ} soit fermé dans L^{2}(P). Dans cer-

tains cas, on donne une caractérisation de l’adhérence de G_{T} (Θ) dans L^{2}.

Weighted Norm Inequalities and Closedness of a Space of Stochastic Integrals

Abstract : Let X be a semimartingale and Θ the space of all predictable Xintegrable processes θ such that ∫ θ^{∗}dX is in the space S^{2} of semimartingales. We are looking for some necessary and sufficient conditions such that the space G_{T} (Θ)

defined by G_{T} (Θ) := {∫_{0}^{T} θ_{s}^{∗}dX_{s} | θ ∈ Θ} is closed in L^{2}(P). In some cases, we

characterize the closure of G_{T} (Θ).

1. Introduction. Soit X une semimartingale continue à valeurs dans IR^{d}, appartenant à l’espace S_{loc}^{2} des semimartingales et de décomposition canonique X = X_{0} + M + A. Si θ est un processus prévisible à valeurs dans IR^{d}, θ^{∗} désigne la transposée du vecteur colonne θ, et θ · X ou ∫ θ^{∗}dX, l’intégrale stochastique vectorielle de θ par rapport à X (voir Jacod (1979)). Introduisons les espaces suivants: L^{2}(M) (resp. L^{2}(A)) est l’espace de tous les processus prévisibles θ tels

que ∥θ∥_{L^{2}(M)} := ∥∫_{0}^{T} θ_{s}^{∗}dM_{s}∥_{2}(resp. ∥θ∥_{L^{2}(A)} := ∥∫_{0}^{T} |θ_{s}^{∗}dA_{s}|∥_{2}) est finie. On ap-

pelle Θ l’intersection de L^{2}(M) et L^{2}(A) et G_{T} (Θ) l’espace des variables aléatoires

∫_{0}^{T} θ_{s}^{∗}dX_{s} avec θ ∈ Θ. Notons R^{2}(P) l’espace des processus H càdlàg adaptés tels

que ∥H∥_{R^{2}(P)} := ∥sup_{0≤t≤T} H_{t}∥_{2} est finie. On dira que l’inégalité (D_{c}) est vérifiée si:

∃c > 0, ∀θ ∈ Θ, ∥θ∥_{L^{2}(A)} ≤ c ∥θ∥_{L^{2}(M)} .

Lorsque, pour tout i, A^{i} << ⟨M^{i}⟩ avec une densité prévisible α^{i}, on note γ_{t}^{i} := α_{t}^{i}σ_{t}^{ii}

et σ_{t}^{ij} := \frac{d ⟨M^{i}, M^{j}⟩_{t}}{dB_{t}} où B est un processus prévisible croissant càdlàg nul en 0 tel

que pour tout i, ⟨M^{i}⟩ << B. S’il existe un processus prévisible λ̂ tel que σ_{t}λ̂_{t} = γ_{t}, le processus K̂ est défini par :

K̂_{t} := ∫_{0}^{t} λ̂_{s}^{∗}dA_{s} = ∫_{0}^{t} λ̂_{s}^{∗}σ_{s}λ̂_{s}dB_{s} = ⟨∫ λ̂^{∗}dM⟩_{t} .

Si K̂_{T} est uniformément bornée, G_{T} (Θ) est fermé mais cette condition n’est pas nécessaire (Schweizer (1994), Monat-Stricker (1994)). Lorsque X admet une loi de martingale équivalente dont la densité est de carré intégrable, une condition nécessaire pour que G_{T} (Θ) soit fermé est que X vérifie (D_{c}) et que K̂ existe, mais cette condition n’est pas suffisante (DMSSS (1994)). En revanche, si on s’intéresse à la fermeture de G_{T} (Θ), non plus dans L^{2}(P), mais dans R^{2}(P), on a équivalence entre (G_{T} (Θ) est fermé dans R^{2}(P)) et (X vérifie (D_{c}) et K̂ existe). C’est le résultat du théorème 2. Si on suppose à présent que X admet une loi de martingale équivalente Q dont la densité est de carré intégrable, une condition suffisante pour que G_{T} (Θ) soit fermé dans L^{2}(P) est que E(−λ̂ · M) satisfasse l’inégalité de Hölder inverse d’indice 2 sous P (théorème 3). On ne sait pas, dans la plupart des cas, si cette condition suffisante est aussi nécessaire. On peut néanmoins le montrer lorsque M admet la propriété de représentation prévisible sous P ( théorème 4). Lorsque X admet une loi de martingale équivalente Q et que M vérifie la propriété de représentation prévisible sous P, on peut même caractériser l’adhérence de G_{T} (Θ) dans L^{2}(P), notée \overline{G_{T} (Θ)} : si la densité est de carré intégrable, alors \overline{G_{T} (Θ)} est l’ensemble de toutes les variables aléatoires H ∈ L^{2}(F_{T} , P) d’espérance nulle sous Q (théorème 5). Si la densité n’est pas de carré intégrable, alors \overline{G_{T} (Θ)} est égal à L^{2}(F_{T} , P) (théorème 7). Les résultats de cette note dont certains s’étendent au cas discontinu seront développés dans DMSSS (1994). Pour les inégalités de normes avec poids, on pourra se référer à Doléans-Dade/Meyer (1979) ou à la toute récente monographie de Kazamaki (1994). Enfin nous tenons à remercier N. El Karoui de nous avoir indiqué les inégalités de normes avec poids et M. Yor pour des discussions fructueuses sur BMO.

2. Résultats.

En combinant les théorèmes 3.18 et 3.19 de Kazamaki (1994) on obtient le

Théorème 1. L’inégalité (D_{c}) est vérifiée si et seulement si K̂ existe et λ̂ · M est dans BMO.

Théorème 2. L’espace (G_{T} (Θ) , ∥ . ∥_{R^{2}(P)}) est fermé si et seulement si K̂ existe et l’inégalité (D_{c}) est vérifiée.

La démonstration de ce théorème repose sur le théorème de l’application ouverte et le

Lemme. Soient θ ∈ Θ et η > 0. Alors, il existe un processus prévisible ε prenant les valeurs 1 ou -1, et tel que

∀t ∈ [0, T], |∫_{0}^{t} ε_{s}θ_{s}^{∗}dA_{s}| ≤ η.

On suppose dorénavant que K̂ existe, que la densité \frac{dQ}{dP} = E (−λ̂ · M) est de carré intégrable et qu’elle définit une loi de martingale équivalente. Sous ces conditions, le théorème suivant fournit une condition suffisante pour que G_{T} (Θ) soit fermé dans L^{2}.

Théorème 3. Si E(−λ̂ · M) vérifie l’inégalité de Hölder inverse d’exposant 2 (notée R_{2}(P)), i.e.

∃C > 0, ∀t ≥ 0, E_{P} [E(−λ̂ · M)_{T}^{2} | F_{t}] ≤ CE(−λ̂ · M)_{t}^{2},

alors G_{T} (Θ) est fermé dans L^{2}(P).

Nous ignorons si l’inégalité R_{2}(P) est une condition nécessaire pour que G_{T} (Θ) soit fermé dans L^{2}(P). Toutefois, cette condition est nécessaire lorsque M a la propriété de représentation prévisible sous P (notée PRP(P) dans la suite) :

Théorème 4. Si M a la PRP(P) et si G_{T} (Θ) est fermé dans L^{2}(P), alors E(−λ̂·M) vérifie R_{2}(P).

Sous les dernières hypothèses sous lesquelles nous nous sommes placés, c’est-à-dire

lorsque \frac{dQ}{dP} = E (−λ̂ · M) est une loi de martingale équivalente, que sa densité est de

carré intégrable et lorsque M a la PRP(P), \overline{G_{T} (Θ)} est entièrement caractérisée par le

Théorème 5. Sous les hypothèses précédentes,

\overline{G_{T} (Θ)} = \{H ∈ L^{2}(F_{T} , P) | E_{Q}[H] = 0\} .

Remarque. Lorsque X n’est pas continue et n’admet pas de loi de martingale équivalente mais si M a la PRP(P) et si la décomposition de Föllmer-Schweizer existe (en particulier lorsque K̂ est uniformément borné), on peut caractériser l’adhérence de G_{T} (Θ) comme précédemment. C’est alors une conséquence immédiate des propriétés de continuité de la décomposition de Föllmer-Schweizer (Monat/Stricker (1994)).

Dans le cas continu, les résultats précédents nous permettent d’obtenir la décomposition de Föllmer-Schweizer sous l’hypothèse R_{2}(P).

Théorème 6. Si E(−λ̂ · M) vérifie R_{2}(P), alors, toute v.a. H de L^{2}(Ω, F_{T} , P) admet une décomposition de Föllmer-Schweizer :

H = H_{0} + ∫_{0}^{T} ξ_{s}^{∗}dX_{s} + L_{T}

où H_{0} est une variable F_{0}-mesurable, ξ ∈ Θ et L est une martingale de M_{0}^{2}, fortement orthogonale à M.

Enfin, on peut se poser le problème de caractériser l’adhérence de G_{T} (Θ) lorsqu’il n’existe pas de loi de martingale équivalente dont la densité est de carré intégrable. En général, le problème reste ouvert. Néanmoins, lorsque M a la PRP(P) et que X admet une loi de martingale équivalente dont la densité n’est pas de carré intégrable, on peut à nouveau caractériser l’adhérence de G_{T} (Θ).

Théorème 7. Si M a la PRP(P) et si X admet une loi de martingale équivalente Q dont la densité n’est pas de carré intégrable, alors \overline{G_{T} (Θ)} = L^{2}(Ω, F_{T} , P).

Remarque. Soient (W_{t})_{t≥0} un mouvement brownien et (F_{t})_{t≥0} sa filtration naturelle. Si on pose X_{t} = W_{t} + t, on peut montrer aisément que G_{∞}(Θ) = L^{2}(F_{∞}, P) bien qu’il n’existe pas de loi de martingale équivalente Q pour la semimartingale X.

Références.

F. Delbaen, P. Monat, W. Schachermayer, M. Schweizer et C. Stricker (1994). Article en préparation.

C. Dellacherie et P.-A. Meyer (1980) “Probabilités et potentiel”, ch. V à VIII, Hermann.

C. Doléans-Dade et P.-A. Meyer (1979) “Inégalités de normes avec poids”, p. 313-331, Séminaire de Probabilités XIII, Lecture Notes in Mathematics 721, Springer.

J. Jacod (1979) “Calcul Stochastique et Problèmes de Martingales”, Lecture Notes in Mathematics 714, Springer.

N. Kazamaki (1994) “Exponential Martingales and BMO”, à paraître dans Lecture Notes in Mathematics 1579, Springer.

P. Monat et C. Stricker (1994) “Föllmer-Schweizer Decomposition and Mean-Varian-ce Hedging for General Claims”, à paraître dans Annals of Probability.

M. Schweizer (1994) “Approximating Random Variables by Stochastic Integrals”, à paraître dans Annals of Probability.

C. Stricker (1990) “Arbitrage et lois de martingale”. Ann. Inst. Henri Poincaré, vol. 26 n 3, p. 451-460.

M. Yor (1985) “Inégalités de martingales continues arrêtées à un temps quelconque”, p. 115-118, Lectures Notes in Mathematics 1118, Springer.

Freddy Delbaen, Vrije Universiteit Brussel, Pleinlaan 2, B-1050 BRUSSELS, BEL-GIUM. Pascale Monat et Christophe Stricker, Laboratoire de Mathématiques, URA CNRS 741, 16 Route de Gray, 25030 BESANÇON cedex, FRANCE. Walter Schachermayer, Universität Wien, Brünnerstrasse 72, A-1210 WIEN, AUS-TRIA. Martin Schweizer, Universität Göttingen, Institut für Mathematische Stochastik, Lotzestrasse 13, D-37083 GÖTTINGEN, GERMANY.