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Lineare Algebra II
| Dozent |
Prof. Dr. Horst Knörrer |
Zeit, Ort |
Mo 10 - 12, HG E 7 |
| Koordinator |
Christian Lieb |
Mi 10 - 12, HG E 7 |
Beginn der Vorlesung:
Montag, den 20.02.2012
Testatbedingung:
70% der Aufgaben sinnvoll bearbeitet.
Übungen:
Details zu den Übungen finden sich hier.
Präsenz: Montags und mittwochs, 12:00-13:00 Uhr, HG J 15.1
Inhalt
| 20.02. |
Überblick über das Semester |
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22.02. |
Bilinearformen und Sesquilinearformen (Fischer 5.4.1,5.4.2) Transformationsformel (Fischer 5.4.3) Polarisationsidentität (Fischer 5.4.4) Sesquilinearformen (Fischer 5.4.5) Skalarprodukte (Fischer 5.4.6) Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Fischer 5.4.7) |
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27.02. |
Gram-Schmidt-Verfahren für euklidische Vektorräume (Fischer 5.4.8,5.4.9) Die Gram'sche Determinante und die Hadamard'sche Ungleichung (Fischer 5.4.10) |
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29.02. |
Dualität und Skalarprodukt (Fischer 6.2.1-6.2.5) Diagonalisierbarkeit von normalen Abbildungen (Fischer 6.2.6,6.2.7) |
| 05.03. | Orthogonale und unitäre Endomorphismen (Fischer 5.5): Diagonalisierbarkeit im unitären Fall, Kästchenform im euklidischen Fall |
| 07.03. |
Selbstadjungierte Endomorphismen (Fischer 5.6): Diagonalisierbarkeit; Kommutierende selbstadjungierte Endomorphismen Cholesky-Zerlegung (Skript Cholesky-Zerlegung) Satz über Hauptachsentransformation (Fischer 5.7.1,5.7.2) |
| 12.03. |
Symmetrische Bilinearformen: Kriterium für positive Definitheit (Fischer 5.7.3) Trägheitssatz von Sylvester (Fischer 5.7.4) Der Fall von beliebigen Körpern mit Charakteristik ≠ 2 (Fischer 5.7.5) Die Singulärwertzerlegung (Kalmen) |
| 14.03. |
Diskrete Fouriertransformation |
| 19.03. |
Diskrete Fouriertransformation (Fortsetzung) |
| 21.03. | Minoren (Fischer 3.3): Komplementäre Matrix, Wiederholung des Laplace'schen Entwicklungssatzes, Cramersche Regel, Rang und Minoren einer Matrix |
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26.03. |
Die Jordansche Normalform: Formulierung des Satzes (Wiederholung; Fischer 4.6.7) Diagonalisierbare Matrizen liegen dicht in M(nxn;C) det eA = etrA Satz von Cayley-Hamilton (Fischer 4.5.3) |
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28.03. |
Berechnung der Jordanschen Normalform (Fischer 4.6.8) |
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02.04. |
Beweis der Hauptraumzerlegung (Fischer 4.6.1-4.6.4) |
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04.04. |
Beweis des Satzes über die Jordansche Normalform (Fischer 4.6.5) |
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16.04. |
Eulersche Winkel (Knörrer: Geometrie 6.1) Die Liealgebra sO(3) (Knörrer: Geometrie 6.2) |
| 18.04. |
Die Liealgebra sO(3) (Fortsetzung) (Knörrer: Geometrie 6.2) sU(2) und die Pauli-Matrizen (Knörrer: Geometrie 6.4) |
| 23.04. | Der Homomorphismus von SU(2) nach SO(3) (Knörrer: Geometrie 6.3) |
| 25.04. | Die Darstellung von SO(3) auf dem Raum der homogenen harmonischen Polynome |
| 30.04. |
Die Darstellung von SO(3) auf dem Raum der homogenen harmonischen Polynome |
| 02.05. |
Konstruktion des Tensorproduktes (Fischer 6.3.1,6.3.2) |
| 07.05. |
Tensorprodukt von linearen Abbildungen, Kronecker-Produkt von Matrizen (Fischer, Aufgabe 6.3.5) |
| 09.05. |
Basiswechsel im Tensorprodukt Anwendungen des Tensorprodukts Die Komplexifizierung eines reellen Vektorraums (Fischer 6.3.4) V* ⊗ W ≅ Hom(V,W) (Fischer 6.3.5) V* ⊗ V* ≅ Raum der Bilinearformen auf V |
| 14.05. |
Symmetrische und alternierende Abbildungen (Fischer 6.3.7) Äusseres Produkt (Fischer 6.3.8) Alternierende Bilinearformen und äusseres Produkt (Fischer 6.3.9) |
| 16.05. | Multilineare Algebra (Fischer 6.4) |
| Ausblick |
Multilineare Algebra (Fortsetzung) Verschränkte Zustände und Teleportation |
Prüfungsinhalt
In der Vorlesung wurden einige längere, vertiefende Beispiele behandelt. Konkret handelt es sich um den Stoff, der an den folgenden Daten behandelt wurde:
22.12.
14.03.
19.03.
16.04.
18.04.
23.04.
25.04.
30.04.
Alle Fakten, die ausschliesslich in diesen längeren Beispielen behandelt wurden, inklusive der zugehörigen Übungen, sind nicht relevant für die Prüfung.
Materialien
Skript zum Abschnitt "Die Cholesky–Zerlegung"
Kurzzusammenfassung zum Thema "Diagonalisierung"
Kurzzusammenfassung zum Thema "Matrixzerlegungen"
Literatur zur Vorlesung
- Gerd Fischer: Lineare Algebra (Vieweg+Teubner, Version bei SpringerLink)
- Daniel Kressner (Vorlesungsskript vom letzten Jahr, Link)
- Dan Kalman: A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix (Link)
- Horst Knörrer: Geometrie (Vieweg, Version bei Springerlink)
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